அறிவியலின்பாதை...(6)

பித்தகோரஸ், யூக்ளிட்:

கணித இயலின் முன்னோடிகள்

காமயம் ப.சேக் முஜீபுர் ரகுமான்

பண்டைய கிரேக்கச் சிந்தனையாளர்களில் பித்தகோரசும், யூக்ளிட்டும் கணிதவியல் முன்னோடிகளாக அறியப்படுகிறார்கள். கிட்டத்தட்ட 2500 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, இன்றும், இவர்களது தேற்றங்களும், நிரூபணங்களும் கல்வி நிலையங்களில்

கற்பிக்கப்படுகின்றன; அவை நடைமுறைப் பயன்பாட்டிலும் உள்ளன என்பதே அவர்களது மேதமைக்குச் சான்று.

பித்தகோரஸ்
கிரேக்கத்தின் சமோஸ் தீவில் கி.மு. 569ல் பிறந்தவர் பித்தகோரஸ் (Pythagoras of Samos). இத்தாலியின் லுக்கேனியாவில் மெட்டபாண்டம் நகரில் கி.மு.495ல் காலமானார். பித்தகோரஸின் பிறப்பு, இறப்பு உள்ளிட்டு, தனிப்பட்ட விவரங்கள் அனைத்தும் தோராயமானவையே. தெள்ளத்தெளிவாக தெரிந்தவை அல்ல.
சுயமாகக் கல்விக் கற்றுத் தேறிய பித்தகோரஸ் நரம்பிசைக் கருவியான மகர யாழ் இசைப்பதில் வல்லவர். இசைஞர் மட்டுமல்ல கவிஞரும்கூட. கணிதம், தத்துவஇயல், வானியலிலும் மிகுந்த ஆர்வம் கொண்டவர். புகழ்பெற்ற தேல்ஸ், அனாச்கிமாண்டர் போன்ற சிந்தனையாளர்களால் கவரப்பட்டவர்.
கி.மு. 535ம் ஆண்டு வாக்கில் சாமோஸ் தீவிலிருந்து எகிப்து சென்ற பித்தகோரஸ், அங்கு ஆயகலைகளை கற்றார். 10 ஆண்டுகள் கழித்து, பெர்சிய (ஈரான்) படையெடுப்பின்போது சிறைப்பிடிக்கப்பட்டு பாபிலோனுக்கு (ஈராக்) அனுப்பப்பட்டார். பாபிலோனியர்களிடமிருந்து இசை, கணிதத்தை கற்றுத்தேர்ந்தார்.
பின்னர் சுதந்திர மனிதராக சாமோஸ் திரும்பி கல்வி நிலையம் நடத்தினார். அங்கு நிலவிய அரசியல் நிலை மற்றும் ஆட்சியாளர்கள் மீது அதிருப்தி அடைந்து, தெற்கு இத்தாலியில் இருந்த கிரேட்டோனா என்ற கிரேக்க குடியேற்றப்பகுதிக்கு இடம்பெயர்ந்தார். அங்கு தத்துவ மற்றும் மதப் பள்ளி நடத்தி, மடம் போன்ற ஒன்றை நிறுவி சீடர்கள், பின்பற்றுவோர்கள் புடைசூழ போதகரைப் போல வாழ்ந்தார்.
பித்தகோரசும் அவரைப் பின்பற்றியவர்களும் பின்வரும் நம்பிக்கைகளைக் கொண்டிருந்தனர்:
1.அனைத்துமே எண்கள்தான். கணிதமே எல்லாவற்றிற்கும் அடிப்படை. வடிவியல் கணிதப் படிப்பின் உயர் வடிவம். கணிதம் மூலமாக இந்த பூத உலகை புரிந்துகொள்ள முடியும்.
2.ஆன்மா மூளையில் உறைகிறது. அது அழிவில்லாதது.ஒரு உயிரிலிருந்து மற்றொரு உயிருக்கு என மாறி பிறப்பறுத்து தூய்மை அடைகிறது. கணிதமும், இசையும் ஆன்மாவை தூய்மைப்படுத்த வல்லவை.
3.எண்களுக்கு ஆளுமை, பண்புகள், வலிமை, பலவீனங்கள் உண்டு.
4.இந்த உலகம், ஆண்-பெண், ஒளி-இருள், வெப்பம்-குளிர்ச்சி, ஈரப்பதம்-வறட்சி, மென்மையானது-கனமானது, வேகமானது-மெதுவானது என எதிர்மறைகளின் இடைச்செயல்பாட்டை (interaction of opposites) பொறுத்தது.
பித்தகோரசின் சமூகத்தினர் ரகசியம் பேணியதோடு, கருத்துகளையும், அறிவுப்பூர்வமான கண்டுபிடிப்புகளையும் பகிர்ந்து கொண்டனர்; கண்டுபிடிப்பு தொடர்பாக எந்த ஒரு தனிநபருக்கும் பெயரும், புகழும் அளிக்கப்படவில்லை. இதனால், பித்தகோரஸ் பெயரால் வழங்கும் கணிதத் தேற்றங்கள் அனைத்தும் அவரே கண்டுபிடித்ததா, மற்ற சீடர்களுக்கும் பின்பற்றியவர்களுக்கும் அதில் பங்கு உண்டா என்பது பற்றி ஐயம் எழுப்பப்படுகிறது.
இருப்பினும், (1) ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல், இரண்டு செங்கோணங்களுக்கு சமமாக இருக்கும் (The sum of the angles of a triangle is equal to two right angles) என்ற தேற்றமும், (2) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், அதன் செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) நீளத்தின் இருமடியானது, மற்ற பக்க நீளங்களின் இருமடிகளின் கூடுதலுக்கு சமம் என்று கூறும் பித்தகோரஸ் தேற்றமும் பித்தகோரசின் பங்களிப்புகள் என்றே நம்பப்படுகிறது. (இந்த தேற்றம் பற்றி, ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்னரே பாபிலோனியர்கள் தெரிந்திருந்தார்கள் என்றாலும், அதற்கான நிரூபணத்தை வழங்கியவர் பித்தகோரஸ்தான்).
புவி கோள வடிவிலானது என்றும், அது பேரண்டத்தின் மையத்தில் அமைந்துள்ளது என்றும் கற்பித்தார் பித்தகோரஸ். கோள்கள், விண்மீன்கள் மட்டுமின்றி பேரண்டமும் கோள வடிவிலானது; ஏனெனில் கோள வடிவமே செந்நிறைவான திட உருவம் என்பது அவரது திடமான நம்பிக்கை. கோள்களின் சுற்றுப்பாதைகளும் வட்டவடிவம் என்றே அவர் கற்பித்தார்.
அதிகாலையில் விண்ணில் தெரியும் விடிவெள்ளியும் (morning star), சாயுங்காலத்தில் தெரியும் வீழ்வெள்ளியும் (evening star) வெள்ளிக்கோளின் (Venus) தோற்றம்தான் என்பதை உணர்ந்திருந்தார்.
பலமுக உருக்களின் 5 வடிவமான, நான்முக முக்கோணம் (tetrahedron), கனசதுரம் (cube), எண்முக முக்கோணம் (octahedron),இருபது முக முக்கோணம் ( icosahedron),பன்னிரண்டு முக ஐங்கோணகம் (dodecahedron) ஆகிய வடிவியல் உருவங்களை பற்றி நன்கு அறிந்து வைத்திருந்தார்.
விகிதமுறை எண்களைக் கண்டுபிடித்ததும் பித்தகோரஸ் சமூகத்தினரே என்று கூறப்பட்டாலும், ஆய்வாளர்கள் அதை ஏற்பதில்லை.
ஒற்றைப்படை, இரட்டைப்படை எண்கள் (odd and even numbers), முக்கோண எண்கள் (triangular numbers), நிறைவெண்கள் (perfect numbers) பற்றி ஆய்வு செய்த பித்தகோரஸ், கோணங்கள், முக்கோணங்கள், பரப்புகள் (areas), விகிதங்கள் (proportion), பலகோணங்கள் (polygons), பலமுக உருக்கள் (polyhedra) பற்றிய நமது புரிதலுக்கு முக்கிய பங்களிப்பு செய்துள்ளார்.
இசையையும் கணிதத்தையும் தொடர்புபடுத்தியவர் பித்தகோரஸ். ஏழு நரம்பு யாழை இசைத்து வந்த அவர், தந்திகளின் நீளங்கள் 2:1, 3:2, 4:3 என்பதுபோல முழு எண் விகிதங்களாக இருக்கும்போது அதிரும் நரம்புகள் (தந்திகள்) (vibrating strings) எப்படி ஒத்திசைந்து ஒலிக்கின்றன என்பதை கண்டறிந்தார். பிற இசைக்கருவிகளுக்கும் இது பொருந்தும் என்பதை பித்தகோரசின் சீடர்கள் கண்டுகொண்டனர்.
பித்தகோரஸின் மரணம் எப்படி நேர்ந்தது என்பது பற்றிய குறிப்புகள் ஒன்றுடன் ஒன்று முரண்படுகின்றன. பித்தகோரசின் செல்வாக்கு அதிகரித்ததால் எரிச்சலடைந்தவர்கள் நாளடைவில் எதிரிகளாக மாறி, அவரது மடத்திலேயே வைத்து அவரைக் கொன்றுவிட்டனர் என்றும், தப்பிச் சென்று பட்டினியால் வாடி உயிரிழந்தார் என்றும் சொல்லப்படுகிறது.

யூக்ளிட்

பல்வேறு வடிவியல் உருவங்களின் பண்புகளை ஆராயும் கணிதத்தின் ஓர் பிரிவே வடிவியல் (Geometry) ஆகும். கட்டடக்கலை மற்றும் பொறியியல் போன்ற துறைகளில் வடிவியல் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. கணிதத்தில் பல பிரிவுகளின் விரிவாக்கத்திலும், அவற்றைப் புரிந்து கொள்ளுதலிலும் வடிவியல் நிரூபணங்கள் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. இத்தனை சிறப்பு வாய்ந்த ஜாமெட்ரி (Geometry) எனப்படும் வடிவ கணித இயலின் தந்தை எனப் போற்றப்படுபவர் யூக்ளிட்தான் (Euclid of Alexandria).

கிரேக்கத்தைச் சேர்ந்த யூக்ளிட், கி.மு. 330 இல் அலெக்சாண்டிரியாவில் பிறந்தார். ஏத்தென்ஸ் நகரில் பிளேட்டோவின் அக்காடமி எனப்படும் பல்கலைக்கழகத்தில் கல்வி கற்றார். பிளேட்டோவின் கல்விக் கழகத்தில் யூக்ளிட் மாணவராக இருந்தபோது வடிவியல் துறையில் அவருக்கு ஆர்வம் ஏற்பட்டது. பின்னாளில் இத்துறையில் அவர் பேருழைப்பு செலுத்தி, சிறந்த கண்டுபிடிப்புகளை நிகழ்த்துவதற்கு அங்குதான் அடித்தளம் அமைக்கப்பட்டது.

எகிப்து நாட்டின் அலெக்சாண்டிரியாவில் இருந்த ராயல் பள்ளி அக்காலத்தில் மிகச்சிறந்த கல்விக்கூடமாகத் திகழ்ந்தது. அப்பள்ளியில் யூக்ளிட் கணித ஆசிரியராகப் பணிபுரிந்தார். அலெக்சாண்டிரியா மன்னரின் ஊக்கமும், ஒத்துழைப்பும் யூக்ளிட் ஒரு சிறந்த கணித ஆசிரியராக விளங்க உறுதுணை புரிந்தன.

வடிவியல் கணிதம் தவிர்த்து மேலும் பல துறைகளிலும் யூக்ளிட் பணியாற்றினார். ஒலி, ஒளி, அணு, உயிரியல், மருத்துவம், இயக்கவியல் (Mechanics), கப்பற்கலை (Navigation) போன்ற அறிவியல், தொழில்நுட்பத் துறைகள் பலவற்றிலும் யூக்ளிடின் சேவையும், கண்டுபிடிப்புகளும் பெரும் பங்கு வகித்தன. சுருங்கக்கூறின், அவர் பல்துறை அறிஞராக விளங்கினார்.

வடிவியலை எளிமையாகக் கற்க முடியும் என்று எடுத்துரைத்த யூக்ளிட் அதற்காக எலிமெண்ட்ஸ் என்ற நூலை எழுதினார். இதில், வடிவியல் கணிதம் பற்றிய பல்வேறு கருத்துக்களையும் திரட்டி, தொடர்புபடுத்திக் கற்போர் எளிமையாக புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வகையில் வெளியிட்டார். 2500 ஆண்டுகளாக தொடர்ந்து கற்பிக்கப்பட்டு வரும், இதுவரை காலாவதி ஆகாத ஒரே பாடநூல் அதுதான்.

யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்ஸ் நூலை கற்காத ஒருவர் சிறந்த ஆய்வாளராக விளங்க இயலாது என புகழாரம் சூட்டுகிறார் ஐன்ஸ்டீன். எலிமெண்ட் நூல் விலைமதிப்பற்ற பொக்கிஷம் என்பதற்கு இதைவிடப் பெரிய சான்று தேவையில்லை. அறிவியலின் வரலாற்றில் இத்தகைய சிறப்பு பெற்ற அறிஞர்கள் வெகுசிலர்தான் என்பதை சொல்லவும் வேண்டியதில்லை.

எலிமெண்ட் நூல் 13 தொகுதிகளாக வெளியிடப்பட்டது. ஒவ்வொரு பகுதியும் வடிவியலின் வெவ்வேறு பிரிவுகளை விளக்குகின்றன. முதல் தொகுதி புள்ளிகள், கோடுகள், முக்கோணங்கள் ஆகியவற்றை விளக்குகிறது. இரண்டாம் தொகுதி தேற்றங்களைப் (theorems) பற்றியும், மூன்றாவது, நான்காவது தொகுதிகள் வட்டங்களின் பல்வேறு பண்புகளைப் பற்றிக் கூறுகின்றன. பிரமிட், கோளம், உருளை போன்ற பல்வேறு திண்ம வடிவியல் உருவங்களைப் பற்றி மற்ற தொகுதிகள் எடுத்தியம்புகின்றன. கணிதத்தில் மீப்பெரு பொது வகுஎண்ணைக் (cgd - greatest common divisor ) கணக்கிட, யூக்ளிடின் வழிமுறை ஒரு சிறந்த பயனுள்ள முறையாகும்.

யூக்ளிடின் கணிதக் கொள்கைகளும், கோட்பாடுகளும் மறுக்கவியலாத நிரூபணங்களையும், ஆதாரங்களையும் அடிப்படையாகக் கொண்டவை. பல்வேறு வழிமுறைகளை ஒருங்கிணைத்து, அதன் மூலம் புதிய கருத்துகளுக்கும், கோட்பாடுகளுக்கும் வழிகாட்டும் வகையில் அமைந்தவை. தமக்கு முன் வாழ்ந்த தேல்ஸ் (Thales), பித்தகோரஸ் (Pythagoras), பிளேட்டோ (Plato) போன்ற பல்வேறு அறிஞர்களின் கண்டுபிடிப்புகளையும், கிரேக்க கணித மேதைகளின் கருத்துகளையும், யூக்ளிட் தமது ஆய்வுக்காகத் திரட்டி ஒன்றிணைத்தார்.

வடிவியலை கற்பதற்கு எலிமெண்ட்ஸ் நுலை விட எளிய வழி ஏதேனும் உள்ளதா என அரசன் டாலமி கேள்வி எழுப்பியபோது, வடிவியலுக்கு ராஜபாட்டை ஏதும் இல்லை என விடையளி்த்தாராம், யூக்ளிட். "அறிவியலுக்கு அரசபாட்டை ஏதுமில்லை" என்ற வழக்கு இதன் அடிப்படையிலேயே உருவானதாகும்.

யூக்ளிட் கி.மு. 275இல் மறைந்தாலும், எலிமெண்ட்ஸ் நூல் மூலம் இரண்டாயிரத்து ஐநூறு ஆண்டுகளைக் கடந்தும் அவர் புகழ் வாழ்கிறது.